Пятница, 29.03.2024, 17:58

Освіта на базі Гімназії №2 ВМР

Неофіційний сайт школи. Автор - Кренцін Михайло

Меню сайту
Наше опитування
Який ваш найулюбленіший предмет?
Всего ответов: 5
Статистика

Онлайн всего: 1
Гостей: 1
Пользователей: 0





Яндекс.Метрика
Форма входу
Пошук
Календар
«  Март 2024  »
ПнВтСрЧтПтСбВс
    123
45678910
11121314151617
18192021222324
25262728293031
Друзі сайту
  • Сайт школи-гімназії №2
  • Центр розвитку школярів в Інтернеті
  • Сайт інтернет олімпіад ФМГ№17
  • Система перевірки знань
  • Програмування та радіотехніка - Мішатронік
  • ВРЦОЯО - ЗНО
  • Лабораторія інформаційно-комунікаційних технологій
  • ДПА
  • Вивчення інформатики
  • Вінницький обласний інститут післядипломної освіти педагогічних працівників
  • Обласний центр технічної творчості учнівської молоді (ОЦТТУМ)
  • Освітній портал
  • НОУ "Интуит"
  • Погода у Вінниці

    Базові алгебраїчні поняття

    Прогресії

    Арифметична прогресія

    A1

    де n – ціле.

    Нехай a1 – перший член прогресії, d – різниця прогресії, n – число членів, an – n-ий член, Sn – сума n перших членів.

    Тоді n-й член арифметичної прогресії:

    A2

    Різниця арифметичної прогресії:

    A3

    Сума перших n членів:

    A4

     

     

    Приклад 1. Обчислити суму перших n  членів арифметичної прогресії

    Код Pascal

    var

      a, d, n: Real;

    begin

      Writeln('Введіть перший член прогресії: ');

      Write('a[1] = ');  Readln(a);

      Writeln('Введіть різницю прогресії: ');

      Write('d = ');  Readln(d);

      Writeln('Введіть кількість членів: ');

      Write('n = ');  Readln(n);

      if n>-1 then

        Writeln('Сума n перших членів прогресії = ',

        ((2 * a + d * (n - 1)) * n) div 2);

       Readln;

    end.

     

    Геометрична прогресія

    A5

    де n – ціле.

     

    Нехай b1 – перший член, q – знаменник, відмінний від нуля, n – число членів, bn – n-й член, Sn – сума n перших членів, S – сума нескінченної геометричної прогресії.

     

    Тоді n-й член геометричної прогресії:

    A6

     

     

    Знаменник геометричної прогресії:

    A7

     

    Сума перших n членів:

    A8

    A8

    Приклад 2. Перевірити, чи є дана послідовність геометричною прогресією.

     

    Код Pascal

    uses crt;

    const n=10;

    var b:array[1..n]of integer;

    i:integer;

    f:boolean;

     begin

     clrscr;

     write('-> ');

     for i:=1 to n do read(a[i]);

     readln;

     f:=true;

     for i:=2 to n-1 do if b[i+1]*b[1]<>b[2]*b[i] then

     begin

      f:=false;

      break;

     end;

     if f then write('B1=',b[1],' Q=',(b[2]/b[1]):0:3) else write('Це не геометрична прогресія');

     readln;

    end.

     

    Границя функції

    Нехай функція f(x) визначена у всіх точках проміжку (a, b), за винятком, можливо,

    деякої точки A10Мал. 10. Побудуємо послідовність значень аргументу функції f(x):

    A11

    A12  (1)

     

    таку, щоб всі члени послідовності належали проміжку (a, b), і послідовність збігалась до точки х0:

    A13

     

    Тоді значення функції f(x)

    A14             (2)

    також утворять деяку числову послідовність.

     

    Говорять, що число A є границею функції f(x) при x , що прямує до x0 , якщо для будь-якої послідовності значень аргументу (1), яка збігається до числа x0 , послідовність значень функції (2) збігається до числа A, і пишуть

    A15

     

    Це визначення границі функції називається визначенням границі по Гейне.

     

    Теореми про границі функцій. Властивості границь

    1) Якщо функції f(x) і g(x) мають границі при x , який прямує до a , то функції A16, A17 A18 також мають границі при x , який прямує до a

    A19.

    A20

    A21.

    В останньому випадку припускається, що функція g(x) не перетворюється в нуль в досить малому околі точки а і A22.

    2) Якщо при x, що прямує до a, функція f(x) має границю, рівну A, і ця границя більше числа c, то для достятньо близьких до a значень x функція f(x) задовільняє нерівність f(x)>c

     

     

    Деякі важливі границі

    В теорії границь важливе місце займають перераховані нижче границі 1)-4) за допомогою яких обчислюється багато границь від елементарних функцій:

     

    1)     A23 

    2)      A24 

    3)      A25 

    4)      A26

     

    Похідна функції

    Похідною функції f у точці x0 називається границя, до якої прямує відношення

    A27

    якщо  A28 наближається до нуля.

     

    Отже, A29

     

    Функція, яка має похідну в точці x0, називається диференційованою в цій точці.

     

    Формули диференціювання

    c' = 0, де c – константа (число)

    (x)' = 1

    (xk)' = k xk-1

    (sin x)' = cos x

    (cos x)' = - sin x

    (tg x)' = 1 / cos2x

    (ctg x)' = - 1 / sin2x

    (ex)' = ex

    (ax)' = ax ln(a)

    (logax)' = 1/ (x·ln(a))

    (ln(x))' = 1 / x

    Якщо u(x) і v(x) деякі функції, то:

    1. (u ± v)' = u' ± v'

    2. (u v)' = u'·v + u·v'

    3. (c u)' = c u'

    4. ( u(k·x + b) )' = k · u'(k·x+b), де k, b – константи

    5. (u / v)' = ( u'·v - u·v' ) / v2

     

    Первісна та інтеграл

     

    Первісна

    Для знаходження функції за її похідною застосовують операцію інтегрування, обернену до операції диференціювання.

    Якщо для всіх x із заданого проміжку [a;b] F’(x)=f(x), то F(x) називається первісною для f(x) на цьому проміжку.

    Загальний вигляд первісних для функції f(x) на проміжку [a;b] є F(x)+C , де C – довільна стала, а F(x) – одна з первісних для f(x) на проміжку [a;b].

     

    Правила знаходження первісних

    Якщо F(x) – первісна для f(x), а G(x) – первісна для g(x), то F(x)+ G(x) – первісна для f(x)+ g(x).

    Якщо F(x) – первісна для f(x) , а k – стала, то kF(x) – первісна для kf(x).

    Якщо F(x) – первісна для f(x) , а k (k≠0) і b – сталі, то F(kx+b)/k – первісна для f(kx+b).

     

    Площа криволінійної трапеції

    Нехай на відрізку [a;b] осі Ox задано неперервну функцію f(x), яка не змінює на ньому знака. Фігуру, обмежену графіком цієї функції, відрізком [a;b], прямими x=a і x=b (Див. мал. 30), називають криволінійною трапецією.

    A30.

     

    Площа криволінійної трапеції aABb (див. мал. 30), обмежена віссю Ox, прямими x=a і x=b та графіком невід’ємної функції y=f(x) на відрізку [a;b], визначається за формулою

    A31

     

    Якщо функція f(x) неперервна і невід’ємна на відрізку [a;b] і F(x) – первісна для f(x) на відрізку [a;b], то площу криволінійної трапеції знаходять за формулою Ньютона-Лейбніца:

    A32

     

    Коли неперервна функція f(x) ≤0 на [a;b], то обчислити площу відповідної криволінійної трапеції можна за формулою:

    A33

     

    Якщо фігура обмежена графіками двох неперервних функцій  f1(x) та f2(x) і двома прямими x=a і x=b, де f1(x)f2(x) на відрізку [a;b], то площу такої фігури шукають за формулою:

    A34

     

    Наближене обчислення означених інтегралів

    Формули прямокутників

    Нехай на відрізку [a;b] задана неперервна функція y=f(x). Потрібно обчислити інтеграл A35

     

    Розіб’ємо відрізок на рівних частин ,  довжина кожної з яких дорівнює Dx = (b - a) / n. Через f(xi) позначимо значення функції в точках xi і складемо суми

    A36.

     

    Кожна з цих сум є інтегральною сумою для f(xi) на відрізку [a;b] і тому наближено виражають визначений інтеграл:

    A37

    A38

    Ці формули називаються формулами прямокутників

     

    Формула трапецій

    Очевидно, що можна отримати більш точне значення інтеграла, якщо дану криву y=f(x) замінити вписаною ломаною. Тоді площа криволінійної трапеції, обмеженої лініями y=0, y=f(x), x=a заміниться площами трапецій

    A39.

     

    Oскільки площа першої трапеції дорівнює A40 другої A41

     

    і т.д., то

    A42

    або A43 

    Ця формула називається формулою трапецій

     

    Приклад. Обчислити методом трапецій площу фігури, обмеженої кривими: Y=X2  и Y= X4

     

    Код Pascal

    var a, b, s,x : real;

        i : integer;

    begin

       a:=0;

       b:=1;

       s:=0;

       for i:=1 to 9 do

       begin

           x:=a+i/10;

           s:=s+(sqr(x)-sqr(sqr(x)));

       end;

       s:=(b-a)/20*(sqr(a)-sqr(sqr(a))+sqr(b)-sqr(sqr(b))+2*s);

       writeln('s=',2*s:10:3);

       readln;

    end.

     

    Єдина Країна! Единая Страна!