Прогресії

Арифметична прогресія

де n – ціле.

Нехай a₁ – перший член прогресії, d – різниця прогресії, n – число членів, a_n – n-ий член, S_n – сума n перших членів.

Тоді n-й член арифметичної прогресії:

Різниця арифметичної прогресії:

Сума перших n членів:

 

 

Приклад 1. Обчислити суму перших n  членів арифметичної прогресії

Код Pascal

var

  a, d, n: Real;

begin

  Writeln('Введіть перший член прогресії: ');

  Write('a[1] = ');  Readln(a);

  Writeln('Введіть різницю прогресії: ');

  Write('d = ');  Readln(d);

  Writeln('Введіть кількість членів: ');

  Write('n = ');  Readln(n);

  if n>-1 then

    Writeln('Сума n перших членів прогресії = ',

    ((2 * a + d * (n - 1)) * n) div 2);

   Readln;

end.

 

Геометрична прогресія

де n – ціле.

 

Нехай b1 – перший член, q – знаменник, відмінний від нуля, n – число членів, bn – n-й член, Sn – сума n перших членів, S – сума нескінченної геометричної прогресії.

 

Тоді n-й член геометричної прогресії:

 

 

Знаменник геометричної прогресії:

 

Сума перших n членів:

Приклад 2. Перевірити, чи є дана послідовність геометричною прогресією.

 

Код Pascal

uses crt;

const n=10;

var b:array[1..n]of integer;

i:integer;

f:boolean;

 begin

 clrscr;

 write('-> ');

 for i:=1 to n do read(a[i]);

 readln;

 f:=true;

 for i:=2 to n-1 do if b[i+1]*b[1]<>b[2]*b[i] then

 begin

  f:=false;

  break;

 end;

 if f then write('B1=',b[1],' Q=',(b[2]/b[1]):0:3) else write('Це не геометрична прогресія');

 readln;

end.

 

Границя функції

Нехай функція f(x) визначена у всіх точках проміжку (a, b), за винятком, можливо,

деякої точки Мал. 10. Побудуємо послідовність значень аргументу функції f(x):

  (1)

 

таку, щоб всі члени послідовності належали проміжку (a, b), і послідовність збігалась до точки х₀:

 

Тоді значення функції f(x)

            (2)

також утворять деяку числову послідовність.

 

Говорять, що число A є границею функції f(x) при x , що прямує до x₀ , якщо для будь-якої послідовності значень аргументу (1), яка збігається до числа x₀ , послідовність значень функції (2) збігається до числа A, і пишуть

 

Це визначення границі функції називається визначенням границі по Гейне.

 

Теореми про границі функцій. Властивості границь

1) Якщо функції f(x) і g(x) мають границі при x , який прямує до a , то функції ,  ,  також мають границі при x , який прямує до a

.

.

В останньому випадку припускається, що функція g(x) не перетворюється в нуль в досить малому околі точки а і .

2) Якщо при x, що прямує до a, функція f(x) має границю, рівну A, і ця границя більше числа c, то для достятньо близьких до a значень x функція f(x) задовільняє нерівність f(x)>c

 

 

Деякі важливі границі

В теорії границь важливе місце займають перераховані нижче границі 1)-4) за допомогою яких обчислюється багато границь від елементарних функцій:

 

1)      

2)       

3)       

4)     

 

Похідна функції

Похідною функції f у точці x₀ називається границя, до якої прямує відношення

якщо   наближається до нуля.

 

Отже,

 

Функція, яка має похідну в точці x₀, називається диференційованою в цій точці.

 

Формули диференціювання

c' = 0, де c – константа (число)

(x)' = 1

(x^k)' = k x^k-1

(sin x)' = cos x

(cos x)' = - sin x

(tg x)' = 1 / cos²x

(ctg x)' = - 1 / sin²x

(e^x)' = e^x

(a^x)' = a^x ln(a)

(log_ax)' = 1/ (x·ln(a))

(ln(x))' = 1 / x

Якщо u(x) і v(x) деякі функції, то:

1. (u ± v)' = u' ± v'

2. (u v)' = u'·v + u·v'

3. (c u)' = c u'

4. ( u(k·x + b) )' = k · u'(k·x+b), де k, b – константи

5. (u / v)' = ( u'·v - u·v' ) / v²

 

Первісна та інтеграл

 

Первісна

Для знаходження функції за її похідною застосовують операцію інтегрування, обернену до операції диференціювання.

Якщо для всіх x із заданого проміжку [a;b] F’(x)=f(x), то F(x) називається первісною для f(x) на цьому проміжку.

Загальний вигляд первісних для функції f(x) на проміжку [a;b] є F(x)+C , де C – довільна стала, а F(x) – одна з первісних для f(x) на проміжку [a;b].

 

Правила знаходження первісних

Якщо F(x) – первісна для f(x), а G(x) – первісна для g(x), то F(x)+ G(x) – первісна для f(x)+ g(x).

Якщо F(x) – первісна для f(x) , а k – стала, то kF(x) – первісна для kf(x).

Якщо F(x) – первісна для f(x) , а k (k≠0) і b – сталі, то F(kx+b)/k – первісна для f(kx+b).

 

Площа криволінійної трапеції

Нехай на відрізку [a;b] осі Ox задано неперервну функцію f(x), яка не змінює на ньому знака. Фігуру, обмежену графіком цієї функції, відрізком [a;b], прямими x=a і x=b (Див. мал. 30), називають криволінійною трапецією.

.

 

Площа криволінійної трапеції aABb (див. мал. 30), обмежена віссю Ox, прямими x=a і x=b та графіком невід’ємної функції y=f(x) на відрізку [a;b], визначається за формулою

 

Якщо функція f(x) неперервна і невід’ємна на відрізку [a;b] і F(x) – первісна для f(x) на відрізку [a;b], то площу криволінійної трапеції знаходять за формулою Ньютона-Лейбніца:

 

Коли неперервна функція f(x) ≤0 на [a;b], то обчислити площу відповідної криволінійної трапеції можна за формулою:

 

Якщо фігура обмежена графіками двох неперервних функцій  f₁(x) та f₂(x) і двома прямими x=a і x=b, де f₁(x) ≥ f₂(x) на відрізку [a;b], то площу такої фігури шукають за формулою:

 

Наближене обчислення означених інтегралів

Формули прямокутників

Нехай на відрізку [a;b] задана неперервна функція y=f(x). Потрібно обчислити інтеграл

 

Розіб’ємо відрізок на рівних частин ,  довжина кожної з яких дорівнює Dx = (b - a) / n. Через f(x_i) позначимо значення функції в точках x_i і складемо суми

.

 

Кожна з цих сум є інтегральною сумою для f(x_i) на відрізку [a;b] і тому наближено виражають визначений інтеграл:

Ці формули називаються формулами прямокутників

 

Формула трапецій

Очевидно, що можна отримати більш точне значення інтеграла, якщо дану криву y=f(x) замінити вписаною ломаною. Тоді площа криволінійної трапеції, обмеженої лініями y=0, y=f(x), x=a заміниться площами трапецій

.

 

Oскільки площа першої трапеції дорівнює  другої

 

і т.д., то

або  

Ця формула називається формулою трапецій

 

Приклад. Обчислити методом трапецій площу фігури, обмеженої кривими: Y=X²  и Y= X⁴

 

Код Pascal

var a, b, s,x : real;

    i : integer;

begin

   a:=0;

   b:=1;

   s:=0;

   for i:=1 to 9 do

   begin

       x:=a+i/10;

       s:=s+(sqr(x)-sqr(sqr(x)));

   end;

   s:=(b-a)/20*(sqr(a)-sqr(sqr(a))+sqr(b)-sqr(sqr(b))+2*s);

   writeln('s=',2*s:10:3);

   readln;

end.